Gli integrali
Introduzione
L’operazione di integrazione è vantaggiosa per venire a capo di due diversi problemi: il calcolo delle aree di figure demarcate da curve, al quale si fa uso dell’integrale definito, e il calcolo dell’inverso della derivata usando l’integrale indefinito.
Integrale indefinito
Una funziona si dice primitiva di un’altra funzione se la derivata della prima è uguale alla seconda. Il problema del calcolo della primitiva è il problema inverso del calcolo della derivata: calcolare la primitiva significa, data una funzione f, trovare un’altra funzione F tale che F′(x) = f(x).In generale, la primitiva di una funzione non è unica. Se una funzione f(x) ammette una primitiva F(x) allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale qualunque. Integrale indefinito: Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), l’insieme di tutte le primitive F(x) + c con c numero reale qualunque.
∫ f(x) dx = F(x) + c
Nella scrittura ∫ f(x)dx , la funzione f(x) è detta funzione integranda e la variabile x variabile di integrazione.
Una funzione si dice integrabile quando ammette una primitiva se una funzione è continua in un intervallo allora è integrabile nello stesso intervallo.
Integrale definito
L’integrale definito ci serve per il calcolo delle aree sottese da funzioni curvilinee. A questo scopo l’area viene suddivisa in una serie di trapezoidi. Un trapezoide è una figura piana caratterizzata da un lato curvilineo. Nel nostro caso si prende un intervallo chiuso che delimita l’area del trapezoide.Esso è limitato dall’asse x, dalle rette parallele all’asse y che definiscono l’intervallo considerato e dal grafico della funzione f(x) sull’intervallo.
In entrambe i casi, dividiamo il trapezoide in n parti di ampiezza uguale, e consideriamo gli n rettangoli aventi per base uno dei segmenti ottenuti e per altezza il valore minimo o il massimo che la funzione assume in tale intervallo.
Sommando le aree di questi rettangoli otterremo in un caso un’area approssimata per difetto, chiamata sn, nell’altro caso un’area approssimata per eccesso chiamata Sn.
Se aumento il numero di rettangoli l’approssimazione di tale area sarà sempre più esatta. Infatti secondo il Teorema
• Se f è una funzione continua e positiva in [a,b], allora le successioni delle aree (sn) e (Sn) convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide. = = S
Nel caso in cui le funzioni siano continue possiamo considerare le affermazioni precedenti sviluppandole anche se non sono positive su tutto l’intervallo [a,b].
Si definisce integrale definito esteso all’intervallo [a;b] il valore comune delle due successioni sn ed Sn. Tale valore viene indicato con ∫ₐb f(x)dx.
I valori a e b vengono chiamati estremo inferiore ed estremo superiore di integrazione. L’integrale definito è, a differenza di quello indefinito, un numero non dipendente dalla variabile x.
Teorema fondamentale del calcolo integrale:
Considerando un punto qualsiasi x dell’intervallo [a,b], si definisce funzione integrale la funzione F(x)= ∫ₐx f(t)dt.
Si ricorda che essendo x un estremo di integrazione bisogna cambiare il nome della variabile di integrazione.
Detto ciò possiamo enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale:
se una funzione f(x) è continua in [a;b], allora esiste la derivata della sua funzione integrale.
F(x)= ∫ₐx f(t)dt
per ogni punto x dell’intervallo [a;b;] ed è uguale a f(x).
In breve F’(x) = f(x), ovvero F(x) è una primitiva di f(x).